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Conceptos basicos de Análisis estructural
El Análisis Estructural es la parte de la Mecánica que estudia las ESTRUCTURAS, consistiendo este estudio en la determinación de los esfuerzos y deformaciones a que quedan sometidas, por la acción de agentes externos (cargas gravitatorias, fuerzas sísmicas, de vientos, variaciones térmicas, etc.)
Las estructuras se componen de una o más piezas ligadas entre sí y al medio exterior, de modo de formar un conjunto estable. Esto es, un conjunto capaz de recibir cargas externas, resistirlas internamente y transmitirlas a sus apoyos, donde esas fuerzas externas encontrarán su sistema estático equilibrante.
Las piezas que componen una estructura poseen evidentemente tres dimensiones. En general pueden ocurrir dos casos:
Dos dimensiones son pequeñas con relación a la tercera: le llamaremos barra y estará representada por su eje (lugar geométrico del centro de gravedad de su sección transversal), por ejemplo: vigas, columnas (figura MI-1a).
Una dimensión es pequeña con relación a las otras dos. Es el caso de las losas o placas, cuyo espesor es pequeño respecto a su superficie (figura MI-1b).
En nuestro curso, en su primera parte, realizaremos el estudio de estructuras diseñadas con material homogéneo (madera, hierro) y en la segunda parte, estructuras en hormigón armado como material heterogéneo.
CONCEPTOS FUNDAMENTALES - Fuerza
El concepto de fuerza es un concepto primario, su definición no es sencilla. La noción de fuerza es fundamentalmente intuitiva: podemos ejercer una fuerza sobre un cuerpo por medio de un esfuerzo muscular; una locomotora ejerce fuerza sobre los vagones que arrastra; un resorte estirado ejerce fuerza sobre las piezas que fijan sus extremos etc. En todos los casos son fuerzas por contacto.
Hay también fuerzas de acción a distancia, es decir, sin contacto, debidas a la existencia de campos gravitatorios, eléctricos, magnéticos, etc.
Momento de una fuerza
En general, una fuerza aplicada sobre un cuerpo produce una traslación, si está en reposo y no impedido su movimiento.
En el caso de la figura MI-3, hay un punto O impedido de trasladarse, entonces el cuerpo girará alrededor del punto O por acción de la fuerza P.
La rotación se mide por el MOMENTO que es el producto de la intensidad de la fuerza P por la mínima distancia que va desde el punto O hasta la línea de acción de la fuerza:
M = P * d (la mínima distancia desde un punto hasta una recta se mide sobre la perpendicular a dicha recta)
Fuerzas concurrentes coplanares: Resultante
Supongamos un muro de mampostería el cual está solicitado por las fuerzas P1, P2, P3, y P4, las que están contenidas en su plano (figura MI-4).
Sea S el punto de concurrencia de sus rectas de acción. El efecto de estas fuerzas es equivalente al de una fuerza resultante única R, cuya recta de acción debe pasar, naturalmente, por S.
Para encontrar la magnitud, dirección y sentido de la resultante se procede de la siguiente manera:
Partir de un polo M (figura 5), se lleva a escala de fuerzas, una a continuación de la otra, las fuerzas P1, P2, P3, P4. La recta que une el origen de la primera con el extremo de la última define la resultante del sistema (suma de vectores gráficamente).
Se comprende que el muro, con las fuerzas actuantes, no está en equilibrio, sino que tiende a desplazarse en la dirección de la resultante, y podemos establecer que:
“Para que un sistema de fuerzas concurrentes esté en equilibrio, es decir, para que su resultante sea nula, es necesario que el polígono de fuerzas construido a partir de un origen M cualquiera, sea cerrado.”
En el ejemplo planteado, para lograr el equilibrio, el terreno deberá reaccionar con una fuerza igual y de sentido contrario a R, y aplicada en su misma recta de acción.
Equilibrio de fuerzas: solución gráfica
Estudiaremos el tema planteándonos la resolución del sistema que ilustra la figura MI-6. Un peso de 1000 kg. está soportado por dos cables, CA y CB.
Se pide encontrar los esfuerzos en los cables, y la magnitud, dirección y sentido de cada reacción de apoyo.
Para que el punto C esté en equilibrio, los cables CA y CB tendrán que realizar esfuerzos tales que la suma vectorial sea igual a cero, es decir, un polígono cerrado.
Se dibuja la carga conocida (a escala de fuerzas) y por sus extremos trazamos rectas paralelas a la dirección de los cables (figura MI-7).
Ahora aislemos uno de los cables, por ejemplo el CB y veamos qué fuerzas exteriores a él actúan (figura MI-8).
En el extremo C está el esfuerzo Sa del otro cable y la carga de 1000 kg, que sumados vectorialmente, es decir, uniendo el origen del primero con el extremo del último, da la resultante Rm, en dirección, magnitud y sentido, que actúan en el extremo C.
Para que el cable CB esté en equilibrio, en el extremo B deberá aparecer una fuerza igual y de sentido contrario a Rm, que será precisamente, la reacción en el apoyo B (RB).
Observando el cable CB en la figura MI-8 vemos que está en equilibrio, y como las fuerzas exteriores lo están tratando de alargar, decimos que está traccionado.
Idéntico razonamiento se puede hacer con el cable CA, en donde vemos que en el extremo C actúan P y Sa (figura MI-9).
Sumados vectorialmente P y Sa, da la fuerza resultante Rn. El equilibrio del cable CA se logra por la fuerza reactiva RA del apoyo A.
Equilibrio de fuerzas: solución analítica
Veamos cómo se determinarían analíticamente las incógnitas RA y RB en el caso del problema que ilustró la figura MI-6 y que se repite en la figura MI-10, anotando los ángulos que forman las fuerzas concurrentes (RA, RB y P).
Las ecuaciones que posibilitan la solución analítica del problema surgen de la misma exigencia de polígono cerrado. Si el polígono formado por cargas y reacciones (fuerzas concurrentes) está cerrado, la suma de las proyecciones de estas fuerzas sobre cualquier sistema de ejes ortogonales x e y, contenidas en su plano de acción, vale cero.
Así se llega a las conocidas ecuaciones de equilibrio:
Fxi = 0 Fyi = 0
Donde Fxi y Fyi designan, las proyecciones de una cualquiera de las fuerzas exteriores sobre los ejes x e y, respectivamente, y la sumatoria se debe extender a todas las fuerzas del sistema.
Proyectando las fuerzas de la figura MI-10 sobre un par de ejes ortogonales x e y, y fijando a priori el sentido de las reacciones, resultan las siguientes ecuaciones de proyección, que hacemos igual a cero por tratarse de un sistema de fuerzas en equilibrio:
Fx = 0 -RA + RB . cos 45° = 0
Fy = 0 - P + RB . sen 45° = 0
Desplazamiento de una fuerza a una dirección paralela a sí misma
En el gráfico central de la figura MI-11 podemos observar que si mantenemos la fuerza P en su ubicación original y agregamos en otro punto cualquiera dos fuerzas P opuestas entre sí (en este ejemplo ubicadas en el centro del plano), el sistema resultante es equivalente al primero.
El nuevo sistema está constituido por la fuerza P dirigida hacia abajo en el punto central, y por una cupla o par de fuerzas (formada por las otras dos), de Momento igual a M = P x a y este nuevo sistema es equivalente al original.
No se altera el efecto cinemático de una fuerza P desplazándola paralelamente a su línea de acción, a la distancia a, siempre que se agregue una cupla de momento P x a.
Fuerzas coplanares no concurrentes
Para determinar la intensidad, dirección y sentido de la resultante aplicamos el método gráfico o analítico visto anteriormente.
En cuanto a la posición de la línea de acción de la resultante, se determina calculando su brazo de palanca r desde un punto cualquiera del plano, considerado centro de momento, mediante el Teorema de Momentos de Varignon: “El momento de la resultante de cualquier sistema de fuerzas respecto a un punto es igual a la suma algebraica de los momentos de las componentes”.
P1 . d1 + P2 . d2 + P3 . d3 + P4 . d4 + P5 . d5 = R . r
Sumatoria de las componentes = Sumatoria de la resultante
Como ya conocemos el valor de la resultante, será suficiente despejar de la ecuación anterior el valor del brazo de palanca r desde el punto T elegido como centro de momentos, y por donde pasará la resultante:
Condiciones de equilibrio
Para un cuerpo, sometido a la acción de fuerzas exteriores, estar en equilibrio significa que dichas fuerzas no provocan traslación alguna ni rotación del cuerpo. Consideremos nuevamente la figura MI-12 (a) y agreguemos una sexta fuerza P6 de valor igual y de sentido contrario a la resultante, pero que no coincida con la posición de la misma, tal como indica la figura MI-13.
Es evidente que si se construyera un polígono con las fuerzas dadas, éste resultaría cerrado, es decir, resultante nula. Sin embargo, el cuerpo no está en equilibrio.
El cuerpo está sometido a una cupla resultante que tiende a hacerlo girar en sentido horario.
Vamos a establecer qué condición analítica debe cumplirse para asegurar que no rote, es decir, que no exista cupla resultante.
Si en la figura MI-13 tomamos momentos de todas las fuerzas respecto al punto T, llegaríamos a la conclusión que:
SumatoriaMT = R . r
Es decir, con el agregado de la fuerza P6 = 9,1t hemos logrado resultante nula (no-traslación), pero no el equilibrio a la rotación.
Evidentemente el equilibrio, es decir, la inexistencia de una cupla resultante, exige que R . r = 0, es decir, SumatoriaM = 0, cosa que se lograría si P6 tuviera la misma recta de acción que R.
LAS CONDICIONES DE EQUILIBRIO DE UN SISTEMA DE FUERZAS SON:
POLÍGONO DE FUERZAS CERRADO Y CUPLA RESULTANTE NULA.
• De la condición de polígono de fuerzas cerrado se deduce: la suma algebraica de las proyecciones de las fuerzas dadas, sobre un par cualquiera de ejes ortogonales, debe ser cero.
• De la condición que establece cupla resultante nula se deduce: la suma algebraica de los momentos de todas las fuerzas, respecto de cualquier punto del plano, debe ser igualmente nula.
Estas condiciones se expresan analíticamente mediante las siguientes ecuaciones de equilibrio:
sumatoriaFx = 0 sumatoriaFy = 0 sumatoriaM = 0
En donde Fx y Fy son las proyecciones ortogonales de cada una de las fuerzas F, y M el momento de cada una de las fuerzas respecto de un punto del plano.
La sumatoria se extiende a todas las fuerzas del sistema.
APOYOS
Grados de libertad - Estabilidad
Hemos visto que las fuerzas en un plano pueden producir traslaciones y rotaciones. La traslación puede expresarse por sus dos componentes, según ejes ortogonales, y la rotación alrededor de un eje perpendicular al plano que contiene a las fuerzas. Diremos que una estructura plana posee tres grados de libertad (dos de traslación y una de rotación).
Es evidente que estos grados de libertad deben ser restringidos para evitar toda tendencia al movimiento de la estructura y lograr su equilibrio. Esta restricción está dada por los apoyos, los que deben impedir las diversas posibilidades de movimiento; aparecen las reacciones en estos apoyos formando este conjunto (de cargas y reacciones) un sistema de fuerzas en equilibrio.
La función de estos apoyos es restringir los grados de libertad de la estructura, apareciendo reacciones en la dirección de los movimientos impedidos.
a) Apoyo de primer género: impide desplazamiento en la dirección perpendicular al plano de apoyo (figura MI-14).
b) Apoyo de segundo género o articulación: impide traslaciones en cualquier dirección, permitiendo sólo rotaciones (figura MI-15).
La dirección de la reacción puede ser cualquiera pero siempre podrá ser representada por sus dos componentes V y H. No es obligación descomponer la reacción de apoyo en ejes ortogonales, se puede descomponer en dos direcciones cualesquiera.
c) Apoyo de tercer género o empotramiento: este tipo de apoyo impide todo tipo de movimiento de la estructura (dos traslaciones y una rotación) (figura MI-16).
Estaticidad, equilibrio y estabilidad
Hemos visto que la función de los apoyos es limitar los grados de libertad de una estructura. Pueden ocurrir tres casos:
• Los apoyos son los estrictamente necesarios para impedir todos los movimientos posibles de la estructura. En éste caso el número de reacciones de apoyo es igual al número de ecuaciones de equilibrio disponibles (número de incógnitas = número de ecuaciones).
Diremos así que se trata de una estructura ISOSTÁTICA, ocurriendo una situación de equilibrio estable; ante cualquier deformación impuesta a la estructura, ésta tiende a volver a su situación inicial (figura MI-17).
• Los apoyos son en cantidad inferior a la necesaria para impedir todos los movimientos posibles de la estructura.
En este caso tenemos más ecuaciones que incógnitas. Se trata de una estructura HIPOSTÁTICA. Puede ocurrir una situación de carga para la cual se consigue equilibrio, pero se trataría de equilibrio inestable, pues cualquier deformación impuesta a la estructura tenderá a seguir hasta su ruina (figura MI-18). Las estructuras hipostáticas son inadmisibles para las construcciones.
• En el tercer caso los apoyos son en cantidad superior a la necesaria para impedir todos los movimientos posibles de la estructura. En este caso el número de ecuaciones es inferior al número de incógnitas, produciendo un sistema indeterminado. Las ecuaciones de la estática no son suficientes para determinar las reacciones de apoyo, siendo necesarias ecuaciones adicionales de compatibilidad de las deformaciones, que se verán en otros cursos.
Estas estructuras son HIPERESTÁTICAS, siendo el equilibrio estable. Podríamos decir un poco impropiamente, que el equilibrio es más que estable.
Observación
Existe también otro tipo de equilibrio inadmisible para las construcciones y es el equilibrio indiferente. Es cuando, al actuar una pequeña fuerza, la estructura se traslada, y si deja de actuar la fuerza, se restablece el equilibrio, pero en otro lugar (figura MI-19).
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